Axiomas de Peano

Los axiomas de Peano o postulados de  Peano son un conjunto de axiomas aritméticos ideados por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Estos axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un conjunto de axiomas para la aritmética introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX. Los axiomas se han utilizado prácticamente sin cambios para una variedad de investigaciones metamatemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.

Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor. Los cinco axiomas de Peano son:

  1. El 1 es un número natural.

  2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.

  3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.

  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

  5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los números naturales. Éste es el axioma de inducción

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no. Cuando se resuelve incluir al 0, entonces deben hacerse algunos ajustes menores:

  1. El 0 es un número natural.

  2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número    natural.

  3. El 0 no es el sucesor de ningún número natural.

  4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.

  5. Si el 0 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto.

para tener más información  pinche aquí   donde hay un vídeo que le aclarara un poco mas la  información anterior.